Question

已知(1+m

x

)n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；
（3）求(1+m

x

)n(1-x)的展开式中含x²项的系数．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 2ⁿ=256，由此解得n=8．再根据含x项的系数为

C

2 8

m2=112，求得m的值．
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

，再根据 二项式系数的性质求得结果．
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，可得含x²的系数为

C

4 8

24-

C

2 8

22，运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得 2ⁿ=256，解得n=8．…（3分）
含x项的系数为

C

2 8

m2=112，…（5分）
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分别为2，8．…（6分）
（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=28-1=128． …（9分）
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，…（11分）
所以含x²的系数为

C

4 8

24-

C

2 8

22=1008．…（15分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．