Question

已知双曲线C的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），一条渐近线方程为y=

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x，过F₁的直线l交双曲线于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若A，B分别在左右两支，求直线l斜率的取值范围；
（3）若直线l斜率为1，求△ABF₂的周长．

Answer 1

分析：（1）设双曲线方程，利用双曲线C的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），一条渐近线方程为y=

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x，求出几何量，即可得到双曲线方程；
（2）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及根的判别式，即可求直线l斜率的取值范围；
（3）直线l交左支于A，B两点，利用双曲线的定义，即可求△ABF₂的周长．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则

b a = 3 3 a2+b2=4

∴a²=3，b²=1
∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1；
（2）设直线方程为y=k（x+2），代入双曲线方程，可得（3k²-1）x²+12k²x+12k²+3=0
∵A，B分别在左右两支，
∴

△=12(k2+1)＞0 x1x2= 3(4k2+1) 3k2-1 ＜0

，∴k2＜

1

3

，∴-

3

3

＜k＜

3

3

（3）由题意，直线l交左支于A，B两点，则|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=4

3

∴|AB|+|AF2|+|BF2|=2|AB|+4

3

=8

3

，即△ABF₂的周长8

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点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．