Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{

1

Tn

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T₁，然后利用已知变形可得：Tn=2-2

Tn

Tn-1

 ⇒T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），变形即可证明
（Ⅱ）由等差数列，可求

1

Tn

，进而可求a_n，代入即可求解b_n，结合数列的特点考虑利用裂项求和

解答：解：（Ⅰ）∵T_n=2-2a_n
∴T₁=2-2T₁
∴T1=

2

3

∴

1

T1

=

3

2

（1分）
由题意可得：Tn=2-2

Tn

Tn-1

 ⇒T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

（6分）
∴数列{

1

Tn

}是以

1

2

为公差，以

3

2

为首项的等差数列
（Ⅱ）∵数列{

1

Tn

}为等差数列，
∴

1

Tn

=

n+2

2

，
∴an=

n+1

n+2

，（8分）
∴bn=

1

(n+2)(n+3)

（10分），
∴Sn=

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

(n+2)×(n+3)

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．