Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0),如右图所示.求:

(1)x₀的值；

(2)a、b、c的值.

Answer 1

答案：(1)解:由图像可知,在(-∞,1)上f′(x)＞0,在(1,2)上f′(x)＜0,在(2,+∞)上f′(x)＞0.

故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减.

因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x₀=1.

(2)解法一:f′(x)=3ax²+2bx+c,由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,

得解得a=2,b=-9,c=12.

解法二:设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m,又f′(x)=3ax²+2bx+c,

所以a=,b=m,c=2m,f(x)=x³mx²+2mx.由f(1)=5,即m+2m=5,

得m=6,∴a=2,b=-9,c=12.