Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

x2-(2+2a)x+b（a∈R ）
（Ⅰ） 若y=f（x） 在点P（1，f（1））处的切线方程为y=

1

2

，求y=f（x）的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ） 若y=f（x） 在[-2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数，然后根据y=f（x） 在点P（1，f（1））处的切线方程为y=

1

2

，建立方程组

f′(1)=0 f(1)= 1 2

，解之即可求出a、b的值，再解不等式f'（x）＜0，可求出函数的单调减区间；
（II）欲式y=f（x） 在[-2，0]上存在极值点，只需y=f'（x）在[-2，0]上存在零点且在零点两侧y=f'（x）值异号，讨论a=0与a≠0两种情形，然后利用二次函数的性质建立不等关系，解之即可．

解答：解：f'（x）=ax²+x-（2+2a） 
（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=0 f(1)= 1 2

⇒

a=-1 b= 1 3

 此时f'（x）=-x²+x，--------（4分）
由f'（x）=-x²+x＜0 得y=f（x） 的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）；----（7分）
（Ⅱ）由已知可得y=f'（x）在[-2，0]上存在零点且在零点两侧y=f'（x）值异号
（1）a=0 时，f'（x）=0⇒x=2∉[-2，0]，不满足条件；
（2）a≠0 时，可得x2+

1

a

x-(

2

a

+2)=0在[-2，0]上有解且△＞0 
设g(x)=x2+

1

a

x-(

2

a

+2) 
①当g（-2）g（0）≤0 时，满足g（x）=0在[-2，0]上有解⇒(4-

2

a

-

2

a

-2)(-

2

a

-2)≤0⇒a≥2 
或a≤-1 此时满足△＞0 
②当g（-2）g（0）＞0时，即g（x）=0 
在[-2，0]上有两个不同的实根
则

g(-2)＞0 g(0)＞0 -2＜- 1 2a ＜0 △＞0

⇒ a 无解
综上可得实数a的取值范围为（-∞-1]∪[2，+∞）．--------（15分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了二次函数的性质，属于中档题．