Question

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.

（1）将十字形的面积表示为θ的函数；

（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：对于第（1）问，用x、y表示面积相对容易，然后利用直角三角形，用θ角分别表示x、y，其中斜边长即为圆的直径.第（2）问主要是利用三角变形，求最值.

解：（1）设S为十字形的面积，则

S=2xy-x²

=2sinθcosθ-cos²θ(＜θ＜).

（2）S=2sinθcosθ-cos²θ

=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ-φ)-,

其中φ=arccos.

当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=时，S最大.

所以，当θ=+arccos时，S最大,

S的最大值为.