题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90，AB=4，CD=1，点M在线段PB上，PB与平面ABC成30°角．
（1）找出一点M的具体位置，使CM∥平面PAD（要说明理由）．
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若点M到平面PAD的距离是
，问点M位于线段PB上哪一位置？
（1）找出一点M的具体位置，使CM∥平面PAD（要说明理由）．
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若点M到平面PAD的距离是
| 2 |
（1）在底面四边形ABCD中，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点F，使PA=4PF，
连接FM，MC，FD，
在△PAB中，
∵
=
=
．
∴MF
AB，
∴四边形CDFM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，
即点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．证明：
，
∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴BC=2
，
分别以CD，CB，CP为x，y，z轴，C为原点建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2
，0），A（4，2
，0），D（1，0，0），P（0，0，2），
设E为PA的中点，则E（2，
，1），
=(2，
，-1)，
=(-4，-2
，2)，
=(1，0，-2)，
∴
•
=(-2)×(-4)+
×(-2
)+(-1)×2=0，
•
=(-2)×1+
×0+(-1)×（-2）=0，
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：|
| =
=2
，
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴
=
=
=
，
∴此时点M在PB的中点上．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点F，使PA=4PF，
连接FM，MC，FD，
在△PAB中，
∵
| PF |
| PA |
| PM |
| PB |
| 1 |
| 4 |
∴MF
| ||
| . |
| 1 |
| 4 |
∴四边形CDFM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，
即点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．证明：
|
∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴BC=2
| 3 |
分别以CD，CB，CP为x，y，z轴，C为原点建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2
| 3 |
| 2 |
设E为PA的中点，则E（2，
| 3 |
| EB |
| 3 |
| AP |
| 3 |
| PD |
∴
| EB |
| AP |
| 3 |
| 3 |
| EB |
| PD |
| 3 |
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：|
| EB |
(-2)2+(
|
| 2 |
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴
| PM |
| PB |
| MG |
| BE |
| ||
2
|
| 1 |
| 2 |
∴此时点M在PB的中点上．
练习册系列答案
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