Question

已知圆C：（x-1）²+(y-2)²=25及直线l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R),

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

Answer 1

解析：(1)直线l写成：x+y-4+m(2x+y-7)=0,过定点（3，1），

∵(3-1)²+(1-2)²=5＜25,

∴点（3，1）在圆内部.

∴不论m为何实数，直线l与圆相交.

(2)直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短.

|AB|=2,k_l=-m=-,得l方程2x-y-5=0.