Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点图角上的点，曲线C上是否存在点M（x，y）满足：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（II）假设存在满足条件的点M，根据A在曲线C上，求出直线AB的斜率，根据导数与斜率的关系K_AB=f′（x），对其进行化简，从而进行判断；
解答：解：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=-ax=，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜
f（x）在（0，）内单调递增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞，f（x）在（，+∞）内单调递减，
综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）；
（II）假设存在满足条件的点M，
∵A在曲线C上，∴K_AB==，
f′（x）=-ax，
∴f′（x）=f′（）=-a•，由已知K_AB=f′（x），
∴=，
化简整理可得lnx₁==2-，
即lnx₁+＞2
∴lnx₁+＞2
∴lnx₁=2-不成立，即满足条件的点M是不存在的；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及导数与斜率的关系，第二问是存在性问题，难度有些大，此题是一道中档题；