Question

设函数，其中。

（I）解不等式；

（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式f（x）≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a>0.

所以，原不等式等价于

即                                  

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x｜0≤x≤｝；

当a≥1时，所给不等式的解集为｛x｜x≥0｝.              

（Ⅱ）在区间［0，＋∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂.

f（x₁）－f（x₂）=－a（x₁－x₂）

　　　　　　　＝（x₁－x₂）

                     ＝（x₁－x₂）      

（）当a≥1时，

∵     ＜1，

∴     －a＜0，

又      x₁－x₂<0，

∴          f（x₁）－f（x₂）>0，

即          f（x₁）>f（x₂）.

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数.      

（）当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在两点x₁=0，x₂=，满足f（x₁）=1，f（x₂）=1，

即f（x₁）=f（x₂），所以函数f（x）在区间［0，＋∞）上不是单调函数.

综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.