Question

某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N⁺）
（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x月的销售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x≤7且x∈N+ x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12，且x∈N+

 （单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=

10ex

x

，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

分析：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39，当x≥2时，f（x）=P（x）-P（x-1），从而可求出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）根据月利润达=销售量×每件利润建立函数关系，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值．

解答：解：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39；
当x≥2时，f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（41-2x）-

1

2

（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）；
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈N⁺）；
（2）设月利润为h（x），则h（x）=q（x）g（x）=

30ex(7-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10 3 x3-100x2+960x，7≤x≤12，且x∈N+

∴h′（x）=

30ex(6-x)，1≤x≤7且x∈N+ 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12，且x∈N+

∴当1≤x≤6时，h′（x）≥0，当6＜x＜7时，h′（x）＜0，
∴h（x）在x∈[1，6]上单调递增，在（6，7）上单调递减
∴当1≤x＜7且x∈N⁺时，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090；
∵当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上单调递增，在（8，12）上单调递减
∴当7≤x≤12且x∈N⁺时，h（x）max=h（8）≈2987＜12090
综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元．

点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了计算能力，属于中档题．