Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令，求数列{b_n}的前n项和T_n并证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴，解得，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n==n²+2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：S_n=n（n+2），∴，
∴T_n=…+
=
=，
∵，
∴，
∴．
分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，利用裂项求和即可得出T_n，再利用单调性即可证明结论．
点评：熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”方法、函数的单调性是解题的关键．