Question

已知函数f(x)=

x2-a(a+2)x

x+1

（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当a＞-1时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求得切点处的函数值与切线的斜率，即可得到切线方程；
（2）比较根的大小，分类讨论，即可得到不等式的解集；
（3）换元，再利用导数法，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

x2-3x

x+1

，∴f（3）=0
f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

，x≠-1，∴f′（3）=

3

4

所以f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y=

3

4

(x-3)，即3x-4y-9=0
（2）当a＞0时，a（a+2）＞0，故不等式的解集为（-1，0）∪（a（a+2），+∞）
当a=0时，f(x)=

x2

x+1

，故不等式的解集为（-1，0）∪（0，+∞）
当-1＜a＜0时，-1＜a（a+2）＜0，故不等式的解集为（-1，a（a+2））∪（0，+∞）
（3）令t=x+1，则t∈[1，3]
∴f（x）=g（t）=

(a+1)2

t

+t-(a2+2a+2)，g′（t）=-

(a+1)2

t2

+1
若a+1=0，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0
若a+1≠0，则g（t）在（0，|a+1|）上递减，在（|a+1|，+∞）上递增，
①若0＜|a+1|≤1，即-2≤a≤0且a≠-1时，g（t）在t∈[1，3]上递增，故g（t）即f（x）的最小值为0；
②若1＜|a+1|＜3，即-4＜a＜-2或0＜a＜2，g（t）在[1，|a+1|]上递减，在[|a+1|，3]递增，
故g（t）即f（x）的最小值为g（|a+1|）=2|a+1|-（a²+2a+2）；
③若|a+1|≥3，即a≥2或a≤-4时，g（t）在t∈[1，3]上递减，故g（t）即f（x）的最小值为-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

综上所述：f（x）_min=

0，-2≤a≤0 -a2，0＜a＜2 -a2-4a-4，-4＜a＜-2 - 2 3 a2- 4 3 a+ 4 3 ，a≥2或a≤-4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查解不等式，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是关键．