Question

已知函数f(x)=log₂(x+m),且f(0)、f(2)、f(6)成等差成列.

(1)求f(30)的值；

(2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

解：(1)由f(0)、f(2)、f(6)成差数列，得

2log₂(2+m)=log₂m+log₂(6+m),即(m+2)²=m(m+6)(m＞0).

∴m=2.                                                                   

∴f(30)=log₂(30+2)=5.                                                       

(2)2f(b)=2log₂(b+2)=log₂(b+2)²,f(a)+f(c)=log₂(a+2)(c+2),又b²=ac,

∴(a+2)(c+2)-(b+2)²=ac+2(a+c)+4-b²-4b-4=2(a+c)-4b.                            

∵a+c＞2=2b(a≠c),

∴2(a+c)-4b＞0.

∴log₂(a+2)(c+2)＞log₂(b+2)²,

即f(a)+f(c)＞2f(b).