题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜,当x∈(0,x1)时,求证:x＜f(x)＜x1.

证明:令F(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c.

由x1,x2是方程f(x)-x=0的两根,则

F(x)=a(x-x1)(x-x2).

又∵x∈(0,x1),由0＜x1＜x2＜,a＞0,

∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)＞0,

∴f(x)-x＞0,∴f(x)＞x.

又∵x1-f(x)=x1-［x+F(x)］

=x1-x-a(x-x1)(x-x2)

=a(x1-x)［+x-x2］,

又∵0＜x1＜x2＜,

∴x1-x＞0,+x-x2＞0.

∴x1-f(x)＞0,∴x1＞f(x).

故x＜f(x)＜x1.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
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)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
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)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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1
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-a1
)+log3(
1
1
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-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
1
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-a2
)+…+log3(
1
1
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-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当an∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(
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-an)+lg2}是等比数列．

设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为(    )

A.正数          B.负数   　　C.非负数              D.正数、负数和零都有可能

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