Question

若在△ABC中，∠A=600，b=1，S△ABC=

3

，则

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

2 39

3

．

Answer 1

分析：又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．

解答：解：由∠A=60°，得到sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，
又b=1，S_△ABC=

3

，
∴

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

，
解得c=4，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
解得a=

13

，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

13

3 2

=

2 39

3

，
则

a+b+c

sinA+sinB+sinC

=

2 39

3

．
故答案为：

2 39

3

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．