Question

在△ABC中，tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且最长边为

5

．
（1）求A；
（2）△ABC中最短的边长

Answer 1

分析：（1）先根据三角形内角和可知tanA=tan（π-B-C），进而利用正切的两角和公式求得tanA的值，进而根据A的范围求得A．
（2）根据题意和（1）中的结论可推断出最长边为a，最短边为c，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinC的值，进而利用正弦定理求得c的值．

解答：解：（1）tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=

tanB+tanC

tanBtanC-1

=

1 2 + 1 3

1 2 × 1 3 -1

=-1
而A∈（0，π）．∴A=

3π

4

（2）由题义及（1）的结论可知．最长边为a=

5

，最短边为c
而sinA=

2

2

，由tanC=

1

3

知sinC=

1

10

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

∴c=

asinC

sina

=

5

×

1

10

×

2

=1
∴△ABC中最短的边长为

1

2

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，正切的两角和公式的化简求值．考查了学生综合分析问题的能力和运算的能力．