Question

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足
（1）求证：当时，不等式恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：．

Answer 1

证明：（1）①令g（x）=f（x）-x=sinx-x，
当时，g'（x）=cosx-1＜0∴g（x）在上是减函数，
所以g（x）＜g（0）=0，∴f（x）-x=sinx-x，
恒成立；（2分）
②令=，
设的根为x₀，即．
∵y=cosx在上是减函数，
所以x∈（0，x₀）时，，
h（x）为增函数；时，，h（x）为减函数；．
∵，∴h（x）＞0恒成立，
即．
综上：当时，不等式恒成立；（6分）
（2）由条件知0＜a_n＜1，，
由（Ⅰ）得，即，
由a_n＜a_n+1可知数列{a_n}为递增数列，
所以S_n=a₁+a₂++a_n．（8分）
由得=，
∴S_n=a₁+a₂++a_n==．
综上：（n∈N₊）成立，
当n=1时，等号成立．（12分）
分析：（1）求出f（x）-x=sinx-x，通过导数说明函数的单调性，说明函数大于极小值，同时利用增函数证明f（x）-x=sinx-x，得到结果．
（2）由（1）0＜a_n＜1，，利用放大法，求出数列S_n=a₁+a₂++a_n；
S_n，使得问题得证．
点评：本题考查数列的求和，利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，考查证明方法放缩法，是有难度的中档题．