Question

直线y=mx+1与椭圆ax²+y²=2交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若a=2，求点P的轨迹方程；
（2）若a，m满足a+2m²=1，求平行四边形OAPB的面积函数S（a）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线y=mx+1过定点（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则OP的中点M为，且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）由，得（a+m²）x²+2mx-1=0，所以，再由点O到AB的距离，能求出S（a）的值域．
解答：解：（1）直线y=mx+1过定点（0，1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则OP的中点M为，
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上两式相减，得，
即k_AB•k_OP=-2，
∴，
∴2x²+y²-2y=0，
点P的轨迹方程为2x²+（y-1）²=1（除去原点）．
（2）由，
得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴，
又点O到AB的距离，
∴=．
∵a+2m²=1，
∴0＜a＜1，
∴S（a）的值域为（2，4）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．