Question

一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400kg；若种花生，则每亩每期产量为100kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只需80元，且花生每千克可卖5元，水稻每千克只卖3元．现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数表示直线在y轴上的截距的

1

500

，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．

解答：解：设这位农民种水稻x亩，种花生y亩，
则由题意可知

x+y≤2 240x+80y≤400 x≥0 y≥0

即

x+y≤2 3x+y≤5 x≥0 y≥0

…（6分）
目标函数利润z=400x•3+100y•5=1200x+500y…（8分）
作出不等式组所表示的可行域如图所示，
作直线l₀：12x+5y=0，将直线l₀向右上方平移，
由图可知当直线过点A(

3

2

，

1

2

)时，利润z取得最大值．…（11分）
即这位农民种水稻

3

2

亩，种花生

1

2

亩时可以得到最大利润．…（12分）

点评：本题主要考查了简单的线性规划在实际生活中的应用，以及利用几何意义求最值．在解决线性规划的问题时，我们还可以用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域②求出可行域各个角点的坐标③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优解．