Question

已知函数f（x）=a^x-2，（a＞0且a≠1）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞log_a（x²）．

Answer 1

分析：（1）设y=f（x）=a^x-2，先反解x，再将x，y互换，即可得函数的反函数；
（2）f^-1（x）＞log_a（x²）等价于loga(x+2)＞loga(x2)．分a＞1与0＜a＜1分类讨论，即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）设y=f（x）=a^x-2，
∴a^x=y+2
∴x=log_a（y+2）
∴y=f^-1（x）=log_a（x+2），（a＞0且a≠1）；
（2）f^-1（x）＞log_a（x²）等价于loga(x+2)＞loga(x2)．
当a＞1时，

x+2＞0 x2＞0 x+2＞x2

，∴-1＜x＜0或0＜x＜2；
当0＜a＜1时，

x+2＞0 x2＞0 x+2＜x2

，∴-2＜x＜-1或x＞2
∴a＞1时，原不等式的解集为（-1，0）∪（0，2）
0＜a＜1时，原不等式的解集为（-2，-1）∪（2，+∞）

点评：本题的考点是反函数，考查反函数的求法，考查解对数不等式，解题的关键是分类讨论，将对数不等式转化为不等式组．