Question

以某些整数为元素的集合P具有以下性质：

（1）P中的元素有正数，也有负数；

（2）P中的元素有奇数，也有偶数；

（3）-1P；

（4）若x、y∈P，则x+y∈P.试判断0，2与集合P的关系.

Answer 1

解：由（4）知，x∈P，则kx∈P（k∈N^*）.

由（1）可设x、y∈P，且x＞0，y＜0，则有xy∈P，（-y）·x∈P，

因而0=xy+(-y)·x∈P.

假设2∈P，

若负数中有一个为奇数，不妨令一奇数为-2k+1(k∈N^*)，

∵2∈P，

∴2（k-1）∈P（k∈N^*），

∴（-2k+1）+2(k-1)=-1∈P，这与（3）矛盾.

若负数均为偶数，不妨令一偶数为-2k（k∈N^*），则由（4）及2∈P知所有的不小于-2k的偶数都属于P，则-2∈P，则所有的偶数都属于P.由（2），P中的奇数只能是正数，因而对于一正奇数2m+1(m∈N^*)，有偶数-2m-2∈P，使得（-2m-2）+(2m+1)=-1∈P，

这也与（３）矛盾.

∴2P.

综上可知0∈P，2P.