Question

【题目】已知为坐标原点，抛物线的焦点坐标为，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，．

（Ⅰ）证明：直线过定点；

（Ⅱ）以，为切点作的切线，设两切线的交点为，点为圆上任意一点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2．

【解析】

（Ⅰ）先求出抛物线的方程，然后设直线的方程为，设，（，），联立直线和抛物线的方程可得，由韦达定理可得的值，再根据，可得出b的值，进而可得出直线恒过定点；

（Ⅱ）以为切点的切线方程为，以为切点的切线方程为，联立，解得，由（Ⅰ）知，所以两切线交点的轨迹方程为，进而可得出的最小值.

（Ⅰ）根据题意，，所以．

故抛物线．

由题意设直线的方程为．

由，消去整理得．

显然．

设，（，），则，

所以．

由题意得，解得或（舍去）．

所以直线的方程为，故直线过定点；

（Ⅱ）因为，所以，，

故以为切点的切线方程为，即，

以为切点的切线方程为，即

联立，解得．

又因为，

所以两切线交点的轨迹方程为．

因为圆心到直线的距离为3，

所以圆上一点到直线的最小距离为，

故的最小值为2．