Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1，一次函数g（x）=2mx+（1-m²）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若F(x)=

g(x)

f(x)

，求函数F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式．
（2）利用导数研究何时能的单调区间和极值，要对参数m进行讨论．

解答：解：由二次函数f（x）满足f（0）=1，不妨设二次函数f（x）=ax²+bx+1，a≠0，
因为f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+1，解得a=1，b=0．
所以f（x）=x²+1
（2）因为F(x)=

g(x)

f(x)

=

2mx+(1-m2)

x2+1

，所以F′(x)=

-2(x-m)(mx+1)

(x2+1)

．因为g（x）=2mx+（1-m²）是一次函数，
所以m≠0．
①若m＞0，则F'（x）=0，解得x1=-

1

m

，x2=m，当x变化时F'（x）与F'（x）的变化如下表：
 

x	(-∞，- 1 m )	- 1 m	（- 1 m ，m）	m	（m，+∞）
F'（x）	-		+		-
F'（x）	递减	极小值-m2	递增	极大值1	递减

所以此时函数的单调增区间为（-

1

m

，m），单调减区间为 (-∞，-

1

m

)和（m，+∞）．
当x=-

1

m

时取得极小值为-m²，当x=m时取得极大值1．
②若m＜0，则F'（x）=0，解得x1=-

1

m

，x2=m，当x变化时F'（x）与F'（x）的变化如下表：
 

x	（-∞，m）	m	（m，- 1 m ）	- 1 m	（- 1 m ，+∞）
F'（x）	+		-		+
F'（x）	递增	极大值1	递减	极小值-m2	递增

所以此时函数的单调增区间为（-∞，m）和（-

1

m

，+∞），单调减区间为（m，-

1

m

），．
当x=-

1

m

时取得极小值为-m²，当x=m时取得极大值1．

点评：本题综合考查了二次函数的解析式和性质，以及利用导数研究函数的单调性与极值，综合性较强，运算量较多．