Question

已知x、y满足条件：

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

求：（1）4x-3y的最大值和最小值；
（2）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答：解：（1）不等式组

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

表示的公共区域如图所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
设z=4x-3y，则y=

4

3

x-

z

3

，平移直线y=

4

3

x-

z

3

，
由图象可知当直线y=

4

3

x-

z

3

过C点时，直线y=

4

3

x-

z

3

的截距最大，此时z取得最小值．
当直线y=

4

3

x-

z

3

过B直线y=

4

3

x-

z

3

的截距最小，z取得最大值．．
∴将B（-1，-6），代入z=4x-3y得最大值z=4×（-1）-3×（-6）=14，
将C（-3，2），代入z=4x-3y得最大值z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）设z=x²+y²，则z的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方的取值范围．
由图象可知z的最小值为0，C点到原点的距离为OC=

(-3)2+22

=

9+4

=

13

，
A点到原点的距离OA=

42+1

=

17

，
∴A点距离原点远，
∴0≤z≤OA²，即0≤z≤17，
即x²+y²的最大值为17．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．