Question

【题目】已知函数满足如下条件：

①函数的最小值为，最大值为9；

②且；

③若函数在区间上是单调函数，则的最大值为2．

试探究并解决如下问题：

（Ⅰ）求，并求的值；

（Ⅱ）求函数的图象的对称轴方程；

（Ⅲ）设是函数的零点，求的值的集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由函数的最值结合三角函数的最值可求得，；由函数在区间上是单调函数，则的最大值为2，可得，根据即可得；由且，可得，验证即可得；再由函数周期性即可得；

（Ⅱ）由题意结合三角函数的性质可令，化简即可得解；

（Ⅲ）由题意可得，进而可得，

或，或，化简后代入，分别求解即可.

（Ⅰ）因为，，

所以,,

所以，．

所以．

设的最小正周期为，

因为在区间上是单调函数，则的最大值为2，

所以，所以，所以即，

所以．

因为，所以，

所以，即．

因为，所以或．

若，则，此时，不合题意；

若，则，此时，符合题意；

所以．

所以．

因为的最小正周期为4，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

令，得．

所以函数的对称轴方程是．

（Ⅲ）令，则，所以函数的零点都满足：

或．

因为，是函数的零点，所以，

或，或，

即，或，

或．

所以，

或，

或．

故的值的集合为.