Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，E、M、N分别是CC₁、A₁B₁、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）求BN的长；
（3）求二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，我们易求出A₁B与C₁M的方向向量，然后根据他们的数量积为0，易判断A₁B⊥C₁M；
（2）根据N为AA₁的中点CA=CB=2，棱AA₁=4，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（3）分别求出平面B₁A₁E与平面A₁EC₁的法向量，我们代入向量的夹角公式即可求出二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．
解答：证明：（1）如图建立空间直角坐标系
A₁（2，0，4），B（0，2，0），C₁（0，0，4），M（1，1，4），

∴∴A₁B⊥C₁M（4分）
（2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2）
∴．（6分）
（3）依题意得：A₁（2，0，4），B（0，2，0），C（0，0，0），B₁（0，2，4）E（0，0，2），C₁（0，0，4）
∴
∵BC⊥AC，BC⊥CC₁
∴平面C₁EA₁的法向量为，得
设平面B₁EA₁的法向量为
则：
令，得
则
由题意可知：二面角B₁-A₁E-C₁的大小是锐角
所以二面角B₁-A₁E-C₁的平面角的余弦值是..（13分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质，其中建立空间坐标系，将线线垂直，二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．