Question

如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（I）求这个几何体的表面积及体积；
（II）设异面直线A₁Q、PD所成角为θ，求cosθ

Answer 1

分析：（I）先根据三视图画出此几何体的直观图，可知此几何体是由一个正方体和一个三棱柱组成的组合体，按照三视图所标长度，分别求两个几何体的体积在求和即可
（II）先作出异面直线所成的角的平面角，即连接QC，再证明∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角），最后在△A₁QC中计算此角的余弦值即可

解答：解：（I）这个几何体的直观图如图，这个几何体可看成是由正方体AC₁及直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的组合体，
由PA₁=PD₁=

2

，A₁D₁=AD=2
可得PA₁⊥PD₁，
故所求几何体的全面积S=5×2²+2×2×

2

+2×

1

2

×(

2

)2=22+4

2

 （cm²）
所求几何体的体积V=2³+

1

2

×(

2

)2×2=10 （cm³）
（II）由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角）  
由题设知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6
CA₁=

3

×2=2

3

，取BC中点E，则QE⊥BC
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=

QA12+QC2-A1C2

2QA1•QC

=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

点评：本题考察了空间想象能力，由三视图作出几何体的直观图，柱体的体积计算公式，异面直线所成的角的定义及其求法