Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，若数列{S_n+1}是公比为4的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；（2）设b_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，若数列{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=3，数列{S_n+1}是公比为4的等比数列，可求出S_n的表达式，然后根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1进行求解即可求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）得b_n的通项公式，然后根据数列{b_n}是递增数列得b_n+1＞b_n恒成立，将λ分离出来，讨论n的奇偶，根据恒成立问题的常用方法可求出λ的取值范围．

解答：解：（1）S_n+1=（S₁+1）•4^n-1=4ⁿ，∴S_n=4ⁿ-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•4^n-1，且 a₁=3，∴a_n=3•4^n-1，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3•4^n-1．…（7分）
（2）b_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n=n•4ⁿ+（-1）ⁿ•λ（3•4^n-1），
数列{b_n}是递增数列，得b_n+1＞b_n⇒(-1)nλ＜

12n+16

15

，n∈N^*
当n为偶数时，λ＜(

12n+16

15

)min=

8

3

，…（10分）
当n为奇数时，-λ＜(

12n+16

15

)min=

28

15

，
∴λ＞-

28

15

…（13分）
所以-

28

15

＜λ＜

8

3

．…（14分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项，以及数列的函数特性和恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．