题目内容
已知点P（a，-1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x2的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1＜x2）．（Ⅰ）求x1与x2的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．
分析：（1）涉及切点的问题常常利用导数与斜率的关系建立等式求解有关问题
（2）以点P为圆心的圆E与直线AB相切，一般直线与圆相切利用d=r建立关系．
（2）以点P为圆心的圆E与直线AB相切，一般直线与圆相切利用d=r建立关系．
解答：解：（Ⅰ）由y=x2可得，y′=2x．（1分）
∵直线PA与曲线C相切，且过点P（a，-1），
∴2x1=
，即x12-2ax1-1=0，（3分）
∴x1=
=a-
，或x1=a+
，（4分）
同理可得：x2=a-
，或x2=a+
（5分）
∵x1＜x2，∴x1=a-
，x2=a+
．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x1+x2=2a，x1•x2=-1，（7分）
则直线AB的斜率k=
=
=x1+x2，（8分）
∴直线AB的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，
∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2ax-y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即r=
，（10分）
∴r2=
=
=
=
=(a2+
)+
+
≥2
+
=3，
当且仅当a2+
=
，
即a2+
=
，a=±
时取等号．
故圆E面积的最小值S=πr2=3π．（14分）
∵直线PA与曲线C相切，且过点P（a，-1），
∴2x1=
| ||
| x1-a |
∴x1=
2a-
| ||
| 2 |
| a2+1 |
| a2+1 |
同理可得：x2=a-
| a2+1 |
| a2+1 |
∵x1＜x2，∴x1=a-
| a2+1 |
| a2+1 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x1+x2=2a，x1•x2=-1，（7分）
则直线AB的斜率k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| ||||
| x1-x2 |
∴直线AB的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，
∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2ax-y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即r=
| 2a2+2 | ||
|
∴r2=
| 4(a2+1)2 |
| 4a2+1 |
| (a2+1)2 | ||
a2+
|
(a2+
| ||||
a2+
|
(a2+
| ||||||||
a2+
|
=(a2+
| 1 |
| 4 |
| 9 | ||
16(a2+
|
| 3 |
| 2 |
|
| 3 |
| 2 |
当且仅当a2+
| 1 |
| 4 |
| 9 | ||
16(a2+
|
即a2+
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
故圆E面积的最小值S=πr2=3π．（14分）
点评：本题考查了函数的导数与斜率之间的关系，直线与圆的位置关系，不等的应用
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