Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠B₁A₁C₁=90°，D、E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（I）求证：C₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求点C₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取A₁B中点F，连接EF，FD．
∵，又B₁B∥C₁C，，
∴EF平行且等于，
∴C₁EFD为平行四边形，…（4分）
∴C₁E∥DF，又DF?平面A₁DB，
∴C₁E∥平面A₁DB．…（6分）
（Ⅱ）解：，，…（8分）
所以，
设点C₁到平面A₁BD的距离为d，则，…（10分）
∴，
∴．
所以点C₁到平面A₁BD的距离为．…（12分）
分析：（Ⅰ）证明C₁E∥平面A₁DB，利用线面平行的判定，证明线线平行即可，取A₁B中点F，连接EF，FD，证明C₁EFD为平行四边形，可得C₁E∥DF，从而问题得证；
（Ⅱ）利用等体积法，即可求点C₁到平面A₁BD的距离，则、．
点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离的计算，解题的关键是利用线面平行的判定证明线面平行，利用等体积法求点到面的距离．