题目内容

设函数f（x）=ax2+8x+3，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]，时，恒有|f（x）|≤5，
（1）求M（a）关于a的表达式；   （2）求M（a）的最大值及相应的a的值．
（1）由a＜0，f(x)=a(x+
4
a
)2+3-
16
a

当3-
16
a
＞5，即-8＜a＜0时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=5的较小的根，即M（a）=
2a+16
-4
a
；
当3-
16
a
≤5，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=-5的较大的根，即M（a）=
-2
4-2a
-4
a
；
所以M（a）=
2a+16
-4
a
(-8＜a＜0)
-2
4-2a
-4
a
(a≤-8)

（2）当-8＜a＜0时，M（a）=
2a+16
-4
a
=
2
2a+16
+4
＜
1
2
；
当a≤-8时，M（a）=
-2
4-2a
-4
a
=
4
4-2a
-2
≤
4
20
-2
=
5
+1
2
；
所以M（a）的最大值为M（-8）=
5
+1
2
．
练习册系列答案
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设函数f（x）=ax+
xx-1
（x＞1），若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f（x）＞b恒成立的概率．
设函数f（x）=ax+b的图象经过点（1，7），又其反函数的图象经过点（4，0），求函数的解析式，并求f（-2）、f（
12
）的值．
设函数f（x）=ax+bx-cx，其中a，b，c是△ABC的三条边，且c＞a，c＞b，则“△ABC为钝角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”（　　）
（2009•杨浦区一模）（文）设函数f（x）=ax+1-2（a＞1）的反函数为y=f-1（x），则f-1（-1）=
-1
-1
．
精英家教网设函数f（x）=(a
x
-
1
x
)n，其中n=3
∫
2π
π
sin（π+x）dx，a为如图所示的程序框图中输出的结果，则f（x）的展开式中常数项是（　　）
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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