Question

设函数f（x）=x²-4|x|-5．
（Ⅰ）画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）设A={x|f（x）≥7}，求集合A；
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=x²-4|x|-5=

x2-4x-5  ，x≥0 x2+4x-5 ，x＜0

，画出y=f（x）的图象，如图．
（Ⅱ）由f（x）≥7可得 即 ①

x≥0 x2-4x-5≥7

，或②

x＜0 x2+4x-5≥7

．分别求得①、②的解集额，再取并集，即得所求．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，结合函数f（x）的图象可得k的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²-4|x|-5=

x2-4x-5  ，x≥0 x2+4x-5 ，x＜0

，画出y=f（x）的图象，如图：
（Ⅱ）由f（x）≥7可得 x²-4|x|-5≥7，
即 ①

x≥0 x2-4x-5≥7

，或②

x＜0 x2+4x-5≥7

．
解①得x≥6，解②可得 x≤-6，
故A={x|f（x）≥7}=（-∞，-6]∪[6，+∞）．
（Ⅲ）方程f（x）=k+1有两解，即函数f（x）的图象和直线y=k+1有两个不同的交点，
由于当x=±2时，函数f（x）取得最小值为-9，
结合函数f（x）的图象可得k+1=-9，或 k+1＞-5，
解得k=-10，或k＞-6，
即k的范围为{-10}∪（-6，+∞）．

点评：本题主要考查作函数的图象，函数的零点与方程的根的关系，绝对值不等式的解法，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．