Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直线y=x+

1

2

上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=3an，试证明数列{b_n}为等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

a1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

即可求出；
（2）利用（1）的结论和等比数列的定义即可证明．

解答：解：（1）∵点(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直线y=x+

1

2

上，∴

Sn

n

=n+

1

2

，即Sn=n2+

1

2

n．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(n2+

1

2

n)-[(n-1)2+

1

2

(n-1)]=2n-

1

2

．
当n=1时，a1=S1=12+

1

2

×1=

3

2

=2×1-

1

2

，即n=1时也成立．
∴an=2n-

1

2

（n∈N^*）．
（2）由（1）可得：bn=3an=32n-

1

2

，
∴

bn+1

bn

=

32(n+1)- 1 2

32n- 1 2

=3²=9．
∴数列{b_n}是以b1=32×1-

1

2

=3

3

为首项，9为公比的等比数列．

点评：熟练掌握公式an=

a1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

和等比数列的定义是解题的关键．