Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若x∈[0，

π

2

]Z，当a∈R时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：化简换元可得f（x）=-t²+at+

5

8

a-

1

2

，（1）把a=1代入，研究函数的单调区间可得；（2）可得t∈[0，1]，函数对称轴为x=

a

2

，分

a

2

≤0，0＜

a

2

＜1，

a

2

≥1，三类讨论可得．

解答：解：化简可得f（x）=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

，
令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+

5

8

a-

1

2

，
（1）当a=1时，f（x）=-t²+t+

1

8

=-(t-

1

2

)2+

3

8

，
因为x∈R，所以t∈[-1，1]，
关于t的二次函数开口向下，对称轴为t=

1

2

，
故当t=

1

2

时，函数取最大值f(x)max=

3

8

，…（8分）
（2）因为x∈[0，

π

2

]，所以t∈[0，1]，
由于函数对称轴为x=

a

2

，
故当

a

2

≤0，即a≤0时，函数在x=0处，函数取最大值

5

8

a-

1

2

，
当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，函数在x=

a

2

处，函数取最大值

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
当

a

2

≥1，即a≥2时，函数在x=1处，函数取最大值

13a

8

-

3

2

，
故f（x）_max=

5 8 a- 1 2 (a≤0) a2 4 + 5 8 a- 1 2 (0＜a＜2) 13 8 a- 3 2 (a≥2)

…（16分）

点评：本题考查二次函数在闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，及换元法的应用，属中档题．