Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，证明：当时， ；

（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．
（Ⅱ）构造函数，利用导数求函数当时的最大值小于零即可．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，从而，于是，由（Ⅰ）知， .

试题解析：（Ⅰ）的定义域为 ，

求导数，得 ，

若 ，则，此时在上单调递增，

若 ，则由得，当时， ，当时， ，

此时在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）令，则

.

求导数，得 ，

当时，，在上是减函数.

而， ，

故当时，

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，

故，从而的最小值为，且，

不妨设，则， ，

由（Ⅱ）得 ，

从而，于是，

由（Ⅰ）知， .

点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.