Question

已知函数f（x）=2x-

x2

2

-aln（x+1），a∈R．
（1）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后因式分解，然后判定导数符号，从而可求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导函数，然后讨论a，确定导函数的符号，根据极值的定义可求出函数在定义域内的极值．

解答：解：（1）若a=-4，则f（x）=2x-

x2

2

+4ln（x+1），
f′(x)=

-x2+x+6

x+1

=

-(x-3)(x+2)

x+1

∵f（x）的定义域为（-1，+∞）
∴x∈（-1，3）时，f′（x）＞0，x∈（3，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（3，+∞）
（2）∵f′(x)=

-x2+x+2-a

x+1

当a≥

9

4

时，

-x2+x+2-a

x+1

≤0恒成立，故函数在（-1，+∞）上单调递减，故f（x）无极值．
当a＜

9

4

时，对于方程x²-x+a-2=0，△=9-4a＞0，
设方程x²-x+a-2=0的两根x₁，x₂，x1=

1- 9-4a

2

，x2=

1+ 9-4a

2

若0＜a＜

9

4

时，-1＜x₁＜x₂，由函数的单调性可知f（x）有极小值点x1=

1- 9-4a

2

；有极大值点x2=

1+ 9-4a

2

．
若a≤0时，x₁≤-1＜x₂，由函数的单调性可知f（x）有极大值点x2=

1+ 9-4a

2

，无极小值点．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．