Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），离心率e=

3

2

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则c=

3

，

c

a

=

3

2

，（4分）
∴a=2，b=1，所求椭圆方程

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由

y=x+m x 2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
则△＞0得m²＜5（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4(m 2-1)

5

y₁-y₂=x₁-x₂，（8分）
|PQ|=

2[(- 8m 5 ) 2- 4(m 2-1) 5 ]

=2
解得．m=±

30

4

，满足（*）
∴m=±

30

4

．