Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1(x∈R)．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)=

1

2

，2a=b+c，bc=18．求a的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定出f（x）的单调递增区间；
（2）根据确定出的f（x）解析式，以及f（A）=

1

2

，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，变形后将cosA，2a=b+c，以及bc=18代入即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）由f（A）=

1

2

，得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
又2a=b+c，bc=18，
∴a²=18，
∴a=3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，三角函数中的恒等变换应用，以及正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．