题目内容

已知函数y=x+ $数学公式$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $数学公式$ ]上是减函数，在[ $数学公式$ ，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+ $数学公式$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+ $数学公式$ （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+ $数学公式$ 和y=x²+ $数学公式$ （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）= $数学公式$ + $数学公式$ （n是正整数）在区间[ $数学公式$ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

解：（1）函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）的最小值是2 $\text{[math]}$ ，则2 $\text{[math]}$ =6，
∴b=log₂9．
（2）设0＜x₁＜x₂，y₂-y₁= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂时，y₂＞y₁，函数y= $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ 时y₂＜y₁，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数．
又y= $\text{[math]}$ 是偶函数，于是，
该函数在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y= $\text{[math]}$ （常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是增函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数；
F（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
因此F（x）在[ $\text{[math]}$ ，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
所以，当x= $\text{[math]}$ 或x=2时，F（x）取得最大值（ $\text{[math]}$ ）ⁿ+（ $\text{[math]}$ ）ⁿ；
当x=1时F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹；
分析：（1）函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）的最小值是2 $\text{[math]}$ =6，由此可求出b的值．
（2）设0＜x₁＜x₂，y₂-y₁= $\text{[math]}$ ．由此入手经过讲座可知该函数在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数．
（3）可以把函数推广为y= $\text{[math]}$ （常数a＞0），其中n是正整数．当n是奇数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是增函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是减函数；当n是偶数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数．并且由函数的单调性可求出当x=1时F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．