Question

已知函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a(a∈R)．
（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用辅助角公式化一角一函数，就可借助基本正弦函数的单调区间来求函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）可知函数f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1+a，利用所给x的范围，即可带着参数a求出f（x）的最大值，再与所给最大值4比较，就可求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a．
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．
∴当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，f（x）_max=3+a．
∵3+a=4，∴a=1，此时x=

π

6

．

点评：本题主要考查了正弦函数单调性，值域的判断，属于三角函数的常规题．