Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理证明AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理：OM∥平面DAF

解答：解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，矩形ABCD中，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，
∴AF⊥CB，
又∵AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，
∵AF⊥CB，AF⊥CB，CB∩BF=B，
∴AF⊥平面CBF．          
（Ⅱ）设DF的中点为N，连结MN、AN，
则MN∥CD，MN=

1

2

CD，
又AO=CD，AO=

1

2

CD，
∴MN∥AO，MN=A0，
∴四边形MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN，
又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．

点评：本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理和判断能力．