Question

（2012•浙江模拟）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（Ⅰ）求直线AB与平面PDC所成的角；
（Ⅱ）设点E在棱PC上，

PE

=λ

PC

，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据PD⊥平面ABCD，可得平面PDC⊥平面ABCD．过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角，从而可得结论；
（Ⅱ）连接EF，证明平面DEF∥平面PAB，从而EF∥AB，利用平行线的性质，可求λ的值．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面ABCD．
∴平面PDC⊥平面ABCD．
过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角．
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=

3

，CF=3，
∴tan∠FDG=

3

，∴∠FDG=60°．
即直线AB与平面PDC所成角为60°．…（6分）
（Ⅱ）连接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB．
又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D
∴平面DEF∥平面PAB，
∵EF?平面DEF，∴EF∥AB．
又∵AD=1，BC=4，BF=1
∴

PE

PC

=

BF

BC

=

1

4

∴

PE

=

1

4

PC

，即λ=

1

4

…（14分）

点评：本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．