Question

已知定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，且对任意的x满足f（x-2）=Mf（x）（常数M≠0），则函数f（x）在区间[3，5]上的最小值与最大值之比是（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  4

• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由题设条件，确定函数f（x）在区间[3，5]上的解析式，再由所得的解析式，利用导数知识，求出函数在区间[3，5]上的最小值与最大值，即可求得结论．

解答：解：由题意对任意的x满足f（x-2）=Mf（x）（常数M≠0），
∴f（x）=

f(x-2)

M

=

f(x-4)

M2

∵x∈[3，5]，∴x-4∈[-1，1]，
∵x∈[-1，1]时，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，
∴f(x-4)=2

(x-4)

3

+3

(x-4)

2

+1
∴f（x）=

2 (x-4) 3   +3 (x-4) 2   +1

M2

（x∈[3，5]）
∴f′（x）=

6 (x-4) 2   +6(x-4)

M2

=

6(x-3)(x-4)

M2

∴函数在[3，4]上单调递减，在[4，5]上单调递增
∴f（3）=

2

M2

，f（4）=

1

M2

，f（5）=

6

M2

∴函数f（x）在区间[3，5]上的最小值为

1

M2

，最大值为

6

M2

∴函数f（x）在区间[3，5]上的最小值与最大值之比是

1

6

故选A．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．