Question

（文）已知函数f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，x∈R．
（1）若函数在x=1时取得极小值，求实数a的值；
（2）当|a|＜

1

2

时，求证：f（x）在（-1，1）内是减函数．

Answer 1

分析：（1）通过求函数的导数，函数f（x）在x=1处取得极值，就是x=1时导数为0，求出a，利用极小值，验证求出a，可得f（x）的解析式；
（2）要证：f（x）在（-1，1）内是减函数，只须证在（-1，1）内恒有f'（x）＜0，利用二次函数的性质即可以得证．

解答：解：（1）∵f(x)=

2

3

x3-ax2-3x，
∴f'（x）=2x²-2ax-3
由f′(1)=0⇒a=-

1

2

…（4分）
又a=-

1

2

时，f′(x)=(2x+3)(x-1)x∈(-

3

2

，1)时，f′(x)＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以在f（x）在x=1时取得极小值，所以a=-

1

2

；
证明：（2）f'（x）=2x²-2ax-3是x的二次函数，
且对称轴方程  x=

a

2

，∵-

1

2

＜a＜

1

2

，，∴-1＜2a＜1．
∴-

1

4

＜

a

2

＜

1

4

．…（8分）
∴f'（1）=2-2a-3=-2a-1＜0，f'（-1）=2+2a-3=2a-1＜0．…（10分）
∴f'（x）在（-1，1）内恒有f'（x）＜0．
∴f（x）在（-1，1）内是减函数．  …（12分）

点评：本题考查待定系数法求函数解析式，函数恒成立问题，利用导数研究函数的极值，是中档题．