Question

已知函数f(x)=ax²-(a+1)x+1，
（Ⅰ）当x∈(，1)时，不等式f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设H(x)=[f(x)+a-1]e^x，当a＞-1且a≠0时，时求函数H(x)的单调区间和极值。

Answer 1

解：（Ⅰ）①当a=0时，f(x)=-x+1在上f(x)＞0一定成立；
②当a≠0时，，
当a＞0时，二次函数y=f(x)的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和，
要使f(x)＞0在上恒成立，当且仅当，即0＜a≤1；
当a＜0时，二次函数y=f(x)的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和，
要使f(x)＞0在上恒成立，当且仅当，即-2≤a≤1；
综合可得实数a的取值范围是：-2≤a≤1；
（Ⅱ），
，
令，解得或x=-1，
①当a＞0时，则，当x变化时，的变化情况如下表：

所以函数H（x）在内是增函数，在内是减函数，
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），且；
函数H（x）在处取得极小值，且；
②当-1＜a＜0时，则，当x变化时，的变化情况如下表：

所以函数H（x）在内是减函数，在内是增函数，
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），且；
函数H（x）在处取得极小值，且。