Question

（本小题满分12分）
设数列{a_n}的前n项和为S_n ，a_n与S_n 满足a_n+S_n =2（n∈N*）；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n = S_n +λS_n+1 （n∈N*）；求使数列{b_n}为等比数列的所有实数λ的值。

Answer 1

（本小题满分12分）解：

（1）令n=1，有2 a₁=2得 a₁=1，由a_n+1+S_n+1=2，a_n+S_n=2，得：2a_n+1-a_n=0（n∈N^*），所以=，所以{ a_n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以a_n= ；（6分）
（2）由（1）知S_n=2 - ，所以b_n= S_n+λS_n+1=2+2λ-（λ+2）（n∈N^*），b₁=，b₂=，b₃=，因为{ b_n}为等比数列，所以b₂²= b₁·b₃，解得λ= -1或λ= -2，当λ= -1时，b_n=  - ，{ b_n}为等比数列，当λ=-2时，b_n= -2，{ b_n}为等比数列；综上，使数列{ b_n}为等比数列的实数λ的值为-1或-2；（12分）