Question

已知函数f（x）=sinx+cos（π-x），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，求sinα+cosα的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

） x∈R，（2分）
∴ω=1，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；（3分）
（2）∵sin（x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-

2

，

2

]，
则函数f（x）的最大值为

2

，最小值为-

2

；（5分）
（3）由f（α）=

1

4

得：sinα-cosα=

1

4

，
∴（sinα-cosα）²=

1

16

，（6分）
1-sin2α=

1

16

，即sin2α=

15

16

，（7分）
∴（sinα+cosα）²=1+sin2α=1+sin2α=1+

15

16

=

31

16

，（9分）
∵α∈（0，

π

2

），∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=

31

4

．（12分）