Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx（a∈R且a≠0），g（-1）=0，则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）≤0．设x₁，x₂为方程f（x）=0的两根．
（1）求的取值范围；
（2）若当|x₁-x₂|最小时，g（x）的极大值比极小值大，求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化简可得3--2≤0，由此求得 的取值范围．
（2）化简|x₁-x₂|的解析式为，故a=b时，取最小值，即|x₁-x₂|取最小值，此时，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．分a＞0和a＜0两种情况分别求出极大值和极小值，根据g（x）的极大值比极小值大，求g（x）的解析式．x₁+x₂
解答：解：（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化简可得 3b²-ab-2a²≤0．
∵a≠0，∴3--2≤0． 解得-≤≤1，故 的取值范围是． …（4分）
（2）∵=-4x₁•x₂=-4（）= +，
∵，故当 ，即a=b时，取最小值，即|x₁-x₂|取最小值．…（7分）
此时，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．
当a＞0时  f（x）在 上是增函数，在 上是减函数，在（0，+∞） 上是增函数．
g（x）的极大值为，极小值为g（0）=0．
由题意，a=9，此时g（x）=9x³+9x²．…（10分）
当a＜0时，f（x）在 在 上是减函数，在 上是增函数，在（0，+∞） 上是减函数．
g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为．
由题意 ，a=-9，此时g（x）=-9x³-9x²．…（13分）
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，方程的根与系数的关系，倒数的运算，属于中档题．