Question

（本题满分14分）定义在D上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。
已知函数，
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界函数值，求实数的取值范围；
（3）若，求函数在上的上界T的取值范围。

Answer 1

解：（1）当时，.
∵在上递增，所以，
即在上的值域为.      …………………………………2分
故不存在常数，使成立.
所以函数在上不是有界函数. ……………………………………4分
（2）∵函数在上是以3为上界的有界函数，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
            ……………………………6分
设，，.
由,得.设，则
，，
所以在 上递增，在上递减.
在上的最大值为，在上的最小值为.
所以实数的取值范围为.       …………………………………………… 9分
（3））方法一:，.
∵ m>0 ，,.
∴，
∵
∴.           …………………………………………11分
① 当，即时，
，此时；
② 当，即时，
，此时.
综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是   ………………………………………………………14分
方法二: .
令，因为，所以.
.
因为在上是减函数，所以.…………………11分
又因为函数在上的上界是，所以.
当时，，;
当时，，.……………………14分

略